매듭의 관련한 전 분야의 연구주제를 다루고자 하며, 매듭이론과 관련된 대수적 구조 특히 Quandle을 이용한 매듭이나 곡면매듭의 연구는 저차원 다양체의 연구에 관심을 두고자 한다. 또한 최근 새롭게 조명받고 있는 가상매듭의 이론과 관련된 분야에도 집중할 예정이다. 국내학자들이 가상매듭이나 Qunadle 관련이론에 대한 정보를 학술회의나 관련세미나를 통하여 단편적으로 접할 수는 있으나 짧은 시간동안 원론적인 내용과 그들의 최신 결과의 소개에 거치는 경우가 대부분이어서 기대를 충족시키지 못하고 있다. 이번 Summer School를 통하여 S. Carter, S. Kamada 등 콴들구조의 전문가들과 Manturov, Kauffmann 등 가상매듭의 전문가들을 초빙함으로서 관련 지식과 최근 연구정보를 최신 토픽까지 일관되게 관련 지식과 연구 방법을 습득하고자 하며, 우리나라의 quadle 구조와 그 호모로지론을 이용한 3차원 및 4차원다양체의 연구 및 가상매듭의 연구를 본격적으로 시작할 수 있는 발판을 마련하고자 한다. 또한 매듭이나 곡면매듭의 연구는 위상수학 특히 저차원 다양체의 연구의 핵심 수단중 하나로서 그 결과들은 수학의 많은 분야 뿐만 아니라 물리의 양자역학, 생명공학의 DNA연구, 화학의 고분자 화학 등 건의 모든 분야에 광범위 하게 이용되고 있는 추세이다. 듭이론의 연구결과들을 이러한 분야에 응용할 수 있는 방법에 대한 논의도 이루어 질 것이다.

2015년 6월에 1주간 개최할 예정인 제 3회 Summer school의 주제는 Interacting particle systems and random matrices이다. 제 1회 주제는 Stochastic analysis and its potential theory였고 제 2회 주제는 Stochastic partial differential equation였다. 3회에 다룰 내용은 한층 더 확률론의 응용을 다룬다고 볼 수 있다. 확률론 이론이 어떻게 구체적으로 자연현상을 설명하는 데 쓰이는지 토론하게 될 것이다. 좀 더 구체적으로 여름학교에서 다룰 주제를 소개하겠다. 1.Phase Transitions, Critical Phenomena, and the Renormalisation Group a course by David Brydges and Gordon Slade The subject of phase transitions and critical phenomena in physics has had a major influence on mathematics for over half a century, especially in probability theory but also in other disciplines. In fact the influence on mathematics is now greater than ever before. The subject is mainly focussed on the study of various specific models. This course of 16-20 hours will include an introduction to some of the models of greatest interest: percolation, the Ising and $|varphi|^4$ spin models, and models of self-avoiding walks. One of the fascinating features of these models is their dependence on the spatial dimension, and the course will provide a survey of what is rigorously known, and of what is predicted but not yet rigorously known,in the different dimensions. Emphasis will be placed on the existence of phase transitions and the accompanying universal critical behaviour, characterised by universal critical exponents. Exact solutions and conformal invariance are predominant themes in dimension $d=2$,and mean-field behaviour and the lace expansion are important in high dimensions. Recent joint work with R.~Bauerschmidt for self-avoiding walk and spin models in dimension $d=4$, which uses a rigorous implementation of Wilson's renormalisation group method to prove the existence of logarithmic corrections to mean-field scaling, will be introduced in the course. The application of the method to the self-avoiding walk makes use of a functional integral representation involving anti-commuting(fermionic) variables. This representation will be discussed in the course;such representations are becoming increasingly useful in probability theory. The level of the course will be suitable for graduate students in probability without previous background in statistical mechanics;the course will provide the necessary background and will not assume specialised knowledge. 2. Lectures by Tadahisa FUNAKI (President of the Mathematical Society of Japan) (1) Effective interface model: Assuming that the interface is described as a height function measured from a fixed reference plane disretized in space, the system is described by the energy called Hamiltonian of the height function. Static and dynamic theories are developed for this model. One possible topic to be discussed in my course is the scaling limit for Gaussian random fields with a weak pinning effect under the situation that the rate functional of the large deviation principle corresponding to this scaling limit admits non-unique minimizers. (2) Dynamics of two-dimensional Young diagrams: If the value of the height function is also discrete and monotone, then it forms a Young diagram. We can define dynamics of Young diagrams in a natural way and study its hydrodynamic behavior and fluctuations. (3) Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation: KPZ equation describes a fluctuation of interfaces, and recently attracts a lot of attentions. This is a kind of stochastic partial differential equation which involves a divergent term. I will discuss the invariant measures of this equation. (4) Sharp interface limit for stochastic Allen-Cahn equations: Sharp interface limit for the Allen-Cahn equation, that is a reaction-diffusion equation with bistable reaction term, leads to a motion of mean curvature for the interface. I will discuss its stochastic perturbation, especially the effect of the stochastic term in the limit.

2014년도 세계 수학자 대회 ICM 개최 이후, 한국은 수학의 연구와 교육에 있어서 전세계의 중심국가 중 하나로서의 위치를 공고히 하는 것이 중요한 과제로 떠오를 것이다. 우리는 국제적으로 연구 학교 (research school)을 개최함으로서 그 과제에 기여하려고 한다. 본 연구 학교의 목적은 수학 연구를 시작하는 대학원 초년생 혹은 학부 4학년 학생들에게 구체적인 예들을 통해, 현대 수학의 큰 세부분야인 동역학계의 연구 방법론과 현대 기하학의 문제들을 소개하고 친숙해 지도록 하는데 있다. 천체 물체들의 운동을 이해하는 것은 인류의 오랜 꿈이다. 케플러 이래 2-체 문제 (two body problem)는 완전히 풀렸지만, 3-체 문제는 모든 시간에 대해 기술하는 닫힌 방정식을 찾는 것이 불가능하다. 포앙카레의 결과로 우리는 3-체 문제가 아주 작은 섭동에 대해 큰 혼돈 (choas)이 야기된다는 것을 알게 되었다. 하지만 포앙카레는 주기적인 궤도가 해밀톤 시스템의 동역학의 기본이됨을 발견하였다. 이렇든 3-체 문제는 역사가 긴 문제이지만, 최근의 사교기하학의 현대적인 방법론이 대두되면서,다시 각광을 받게 되었다. 그로모프의 (pseudo-holomorphic curves)의 도입으로 사교 위상수학은 우리의 해밀톤 동역학의 이해에 혁명적인 변화를 일으켰다. 이에 플로어 호몰로지(Floerhomology), 사교 장 이로, 푸카야 A-무한 (A-infinity) 카테고리 등의 중요한 개념들의 발견이 뒤따랐다. 제한된 3-체 문제의 분석에 있어서의 최근의 발전은, 본 연구 학교의 강연자 및 주관자 중 두 명이 활발히 관여한 연구인데, 이러한 새로운 광역적인 방법론이, 섭동(perturbation)이라는 국소적인 방법론과는 완전히 새로운 접근법을 가져다 주는지 보여주었다. 우리는 기하학과 동역학을 구체적인 예를 통해 소개하고 그 둘 사이의 상호작용을 강조함으로써,학생들이 두 이론을 각각 이해할 뿐만 아니라 서로 다른 수학적 이론들이 상호작용하고 서로를 풍부하게 해주는 지를 보게 될 것으로 기대한다. 또한 우리의 강의들은 간단하고 추상적인 개념들이 어떻게 응용되는지를 보여줄 것이다. Conference Information 본 연구 학교의 목표는 학생들에게 동역학계의 기본적인 질문들과 이를 해결하기 위해 필요한 이론들을 구체적인 문제들을 통해 소개하는 것이다. 우리의 기본적인 질문들은 다음과 같다 : 닫힌 궤도의 존재성 (existence of closed orbits), 적분성(integrability 완전 해결성 complete solvability), 안정성 (stability). 그리고 우리의 기본적인 방법들은 다음과 같다 : 기하화 (geometrization)와 variational principles.이러한 질문과 방법들을 다음과 같은 구체적인 예들에 대해 적용하고자 한다 : 빌리어드 billiards, 측지선 흐름과 자기적 흐름 geodesic and magnetic flows, 그리고 3체 문제 3-body problem. 또다른 목적은 이러한 질문과 방법들, 그리고 예들이 무미건조한 추상적인 수학이 아닌, 역학, 기하학적 광학, 천체물리학 등에 등장하는 구체적인 예들과 질문들임을 보여주려고 한다.

배경: 2015년 8월 3일부터 7일까지 SIAM Conference on Applied Algebraic Geometry가 국내에서 최초로 NIMS에서 개최된다. 이 학회는 2011년 North Carolina State University에서 처음 개최되었고, 2013년 Colorado State University에서 두번째로 개최되었다. 미국에서만 두번 연속 개최되다가 이번에 처음으로 한국(NIMS & KAIST)에서 개최된다. 이 학회의 목적은 대수기하학에 기반을 둔 여러가지 분야, 예를 들어 생물학, 부호론, 암호론, 계산 기하학, 컴퓨터 그래픽스, 양자 정보 및 계산, 기계 학습, 최적화, 로보틱스, 복잡도 이론 등을 다루는 것에 있다. 각 분야 최고 수준의 연사분들이 초청되었는데 (http://camp.nims.re.kr/activities/eventpages/?id=200&action=participants참고), 이중에 2인의 한국인 연사가 포함되어 있다. 한분은 너무도 잘 알려진 옥스포드대학의 김민형 교수이고 다른 한 사람은 최근 떠오르는 스타로 알려진 허준 박사이다. 이 학회가 명성있는 SIAM 국제 학회임을 감안할 때 9명의 초청 연사중에 2명이나 한국인 연사가 추천된 것은 한국 수학의 수준을 높게 평가한 것으로 보인다. 목표: 국내에는 대수기하학에 대한 연구가 활발함에도 불구하고, 아직 대수기하학의 응용에 관심을 갖고 공부하는 그룹은 그리 많지 않은 실정이다. 따라서 이번 SIAM Conference on Applied Algebraic Geometry에 좀 더 많은 수학자와 대학원생이 참여하도록 유도하고자 한다. 이를 위하여 일부 관련 분야를 미리 토론하고 연구하고자 하여 이 본 응용 대수기하학 학교를 개최하게 되었다.

▪주 관: 국가수리과학연구소 ▪조직위원회: 서강대학교 김현석 교수, 서울대학교 변순식 교수, 연세대학교 김세익 교수, KAIST 김용정 교수, POSTECH 황형주 교수 ▪과학위원회: 서울대학교 하승열 교수, 서울대학교 이기암 교수, 연세대학교 강경근 교수, KAIST 변재형 교수, KAIST 권순식 교수 ▪자문위원회: 부산대학교 이용훈 교수, 중앙대학교 채동호 교수, 전남대학교 곽민규 교수, 인하대학교 강현배 교수, 연세대학교 최희준 교수 역대 겨울학교의 전통을 이어받아 제 5회 한국 편미분방정식 겨울학교에서도 국내와 국외에서 각각 한 분씩의 세계적인 수준의 편미분방정식 연구자를 주강연자로 초청하고자 한다. 국내에서는 Conservation laws, Boltzmann equation, kinetic theory, flocking theory 등의 다양한 분야에서 선도적인 연구를 수행하는 서울대의 하승열 교수를 주강연자로 초청하였으며, 국외에서는 비선형편미분방정식의 대가로 100 여 편의 학술논문과 대학원생을 위한 교재인 “Partial Differential Equations”로 유명한 University of California-Berkeley의 Lawrence C. Evans 교수를 초청하고자 한다. 이 분들의 강연을 통하여, 국내의 편미분방정식 연구자들이 현대 편미분방정식 이론의 세계적인 흐름에 대한 보다 넓은 시각을 갖출 수 있을 것이다. 그 외에도 두 분의 주강연자의 강연 주제와 밀접한 관계가 있는 연구를 수행하는 국내외 연구자들을 각각 2 - 3 분씩 초청하여, 최신의 연구 성과를 소개하는 기회도 가지고자 한다.

1.명칭 : NIMS-KU Financial Mathematics Summer School(FMS2012) 2.일시 : 8월 14일 ~ 17일(금) 10:00-18:00 3.장소 : 고려대학교 아산이학관 4.목적 : ELS상품의 과학계산의 기본내용에 대해 강의가 주어지며 학생들은 유한차분법을 이용하여 Black-Scholes식을 풀 어 옵션의 가격을 결정하는 방법을 배운다. 5.강의내용 : -김준석 : MATLAB 1차원 Black-Scholes 방정식 소개, OSM소개 등 -이현근 : MATLAB 1차원 열방정식, 2차원 Black-Scholes 방적식 등 -이동선 : MATLAB 2차원 열방정식, MATLAB ELS 1, C++ 2차원열방정식 등 -신재민 : MATLAB 1차원 Black-Scholes 방정식, MATLAB ELS 2, C++ 1차원 Black-Scholes 방정식 등 6.조직위원 및 예상인원 -조직위원 : 하태영,김명년,유순영(NIMS) 김준석,김바라(KU) -예상인원 : 국가수리과학연구소 4명, 고려대학교 2명, 참가자 50명 NIMS-KU Financial Mathematics Summer School(FMS2012)

새로운 이론의 태동기에 중요한 것은 그 분야의 전문가들과 깊이 있는 토론을 통해 당대의 이론이 가지고 있는 문제점들을 파악하고 이러한 문제점들을 극복하기 위한 새로운 개념들이 무엇인지에 대한 진지한 고민이 필요하다고 생각한다. 따라서 관련분야의 전문가들을 초청하여 집중적이고 깊이있는 강의형태가 보다 적절하다고 생각한다. 현재까지 양자중력이론은 완 성된 이론이 아니다. 그러나 양자중력에서 핵심이 되는 중요한 개념들의 이해가 진행되고 있는 상황이다. 양자중력이 요청하 는 핵심적인 개념은 중력이 기본적으로 좀 더 근원적인 대상으로부터 창발하는 현상이며 따라서 시공간 또한 처음부터 주어 진 것이 아니라 우주의 대폭발과 함께 나타나야 하는 것으로 이해하고 있다. 이 개념은 우주의 기원과 진화를 설명하는데 매 우 중요하리라 생각한다. 따라서 이러한 관련된 주제들에 대해 활발한 연구를 수행하고 있는 세계적인 전문가들을 초청하여 집중적인 강의를 통해 양자중력의 올바른 기초를 만들고 젊은 세대들에게 최근의 새로운 이론을 소개하고 이를 통해 그들을 이러한 연구방향으로 유도하고자 한다. 양자중력이론은 물질과 시공간의 기원뿐만 아니라 우주의 생성과 진화를 이해하는 데 중요하리라 생각한다. 그리고 이 이론을 공식화하기 위해서는 최근의 수학이론뿐만 아니라 새로운 수학이 필요할 것이 다. 또한 고체물리와 같은 인접분야로의 긴밀한 응용도 중요하리라고 본다. 그러나 무엇보다도 암흑물질과 암흑에너지의 발 견으로 유발된 실험과 이론 사이의 팽팽한 긴장은 양자중력이론을 절실히 요구하고 있다. 따라서 당대의 상황은 양자중력을 위해 필요한 새롭고 급진적인 개념들, 예를 들면, 창발하는 물리현상과 같은 개념을 젊은 물리학자들에게 소개하고 그들이 이 연구의 최전선에 뛰어들 수 있는 환경을 조성해야 할 것이다. 현재 유럽, 미국 그리고 아시아의 여러 나라에서 이러한 방 향으로의 연구가 시작되고 있으며 국내에서도 몇몇의 연구진들이 선도적인 연구를 수행해오고 있다. 학술회의를 통해 국내 외 연구진의 연구결과를 심층적으로 소개하고 국제적인 공동연구를 모색할 수 있으리라고 본다. 뿐만 아니라 젊은 물리학자 들과 세계적인 전문가들과의 만남을 통해 그들의 연구의욕을 고취하고 능력 있는 젊은 연구자의 양성을 통해 양자중력이론 에 관한 국내의 연구수준을 세계적인 수준으로 도약시킬 수 있는 기반을 조성할 수 있으리라고 본다. 최근의 천체만원경을 이용한 초신성과 은하들에 대한 정밀한 관측과 인공위성을 통한 우주배경복사의 정밀한 측정을 통해 우리 우주의 대부분의 구성요소가 암흑물질과 암흑에너지로 되어 있다는 사실을 알게 되었다. 그러나 아인슈타인의 중력이 론과 표준모형에 기초한 20세기의 물리학은 우주의 구성요소 중 단 5%밖에 설명하지 못한다는 사실이 드러났다. 이 결과는 현재 양자장론에 기초한 우리의 이론체계가 우주를 설명하기에 턱없이 부족하다는 사실을 말해준다. 다시 말하면 21세기의 물리학은 20세기의 물리학을 크게 확장해야 한다는 것을 말해준다. 우리는 21세기의 이 확장된 이론이 궁극적인 양자중력이 론이어야 할 것으로 믿는다. 더욱이 최근 끈이론을 통해 드러난 중력과 시공간에 대한 새로운 개념은 양자중력이론이 기존 의 아인슈타인 이론이 제시하는 개념을 과감히 수정해야 함을 암시한다. 우리는 양자중력이 요청하는 이러한 새로운 개념은 기본적으로 창발하는 중력과 시공간에 기초해야 한다고 믿는다. 현재 암흑물질과 암흑에너지의 발견으로 유발된 실험과 이론 사이의 팽팽한 긴장은 19세기말의 상황을 연상하게 한다. 흑체 복사의 발견과 전자기학이라는 새로운 이론의 발전으로 결국 20세기의 물리학은 양자역학과 상대성이론에 기초한 새로운 체 계를 구축했다. 그러나 21세기의 물리학은 다시 한번 양자역학과 상대성이론을 넘어서는 새로운 이론적 체계를 요청하고 있 다. 따라서 최근의 발전된 새로운 양자중력이론들에 대한 체계적인 검토와 이를 바탕으로 암흑물질과 암흑에너지의 기원을 어떻 게 이해할 수 있으며 초기우주론의 여러가지 제반 문제들을 어떻게 해결할 수 있는지 심층적으로 연구하는 것이 필요하다고 본다.

TBA

□ Summer School : 2010 NIMS/KAIST Summer School on Sampling Theory and Compressive Sensing □ 일시, 장소 및 주최 - 일시 : 2010년 8월 18일(수요일) - 8월 20일(금요일) - 장소 : KAIST 산업경영동 3층 수학과 세미나실 - 주최 : NIMS □ 추진경위 ● Sampling Theory와 Compressive Sensing에 대한 체계적인 학습과 현장에서의 필요기술(이론)을 파악 ● 관련 연구 분야의 국내 연구진의 연구역량함양과 연구교류의 활성화 □ Summer School 내용 ● 대학원학생과 이 분야에 관심이 있는 연구자들에게 기초 이론과 상호 연관성 교육 ● Sampling Theory의 기초와 응용 (KAIST 권길헌교수) ● Compressive Sensing의 기초 이론과 응용 (KAIST 예종철교수) ● 산업현장에서 관련분야가 응용되어지고 있는 기술 및 향후 필요한 기술/이론 □ 조직위원 - NIMS (하태영, 윤강준) - KAIST (권길헌교수, 예종철교수) 2010 NIMS/KAIST Summer School on Sampling Theory and Compressive Sensing

Summer School on Strings, Gravity and Cosmology Summer School on Strings, Gravity and Cosmology