MISG(Mathematics in Industry Study group) 2017

MISG(Mathematics in Industry Study Group) 워크숍은 호주 및 뉴질랜드 기업과 산업체가 직면한 복잡하고 기술적인 문제를 수리과학을 토대로 실질적인 솔루션을 제공하는 것을 목표로 만들어졌다. 1968년부터 지금까지 호주, 뉴질랜드 및 세계 각국의 공공기관과 대학의 과학자(응용수학자, 통계학자, 물리학자 등) 및 엔지니어들이 기업의 기술자들과 만나 산업문제를 해결할 수 있도록 자리를 주선해 왔다. MISG 워크숍은 광업, 자동차 제조, 철도/항공 운송, 금속가공, 식음료, 석유/가스, 유틸리티, 생물의학 등의 광범위한 영역에 국내외 대기업/중소기업 등 다양한 비스니스/산업 파트너와 함께 진행되었다.

산업수학혁신센터 연구원들은 향후 산업수학 문제 발굴 및 해결을 위한 스터디그룹을 국내에 정착시킬 수 있도록 MISG 2017에 참가하여 실질적으로 문제해결을 하는 과정을 익히고자 하였다. 또한 워크숍에 참여하는 호주, 뉴질랜드, 일본 등의 산업수학 문제해결 팀과의 교류를 통하여 협력 네트워크를 구축하고자 했다.

MISG 2017은 호주 애들레이드에 위치한 남호주대학교(University of South Australia)에서 2017년 2월 13일부터 17일까지 열렸다. 여기에서 4가지 문제가 소개되었으며, 참여한 연구원들이 각각 하나의 문제를 선정하여 그 과정에 참여하였다.

1. 열차 지연 분석 (Analysis of Train Lateness)

산업수학혁신센터 김영진

▣ 참여기업

TTG Transportation Technology는 시드니에 본사를 두고 있으며 세계 여러 나라의 철도회사에 DAS(Driver Advisory System)을 제공하는 국제적 기업이다. 특히 에너지마이저(energymiser)와 스케줄마이저(schedulemiser)라는 인캡 어드바이스 시스템(in-cab advice system)을 주력 상품으로 하고 있다.

▣ 기업관계자 및 모더레이터

• Scott Mackenzie (TTG Transportation Technology)
• Kaye Marion (RMIT University, Melbourne)
• Nick Fewster-YoungAmie Albrecht (University of South Australia)

▣ 문제 소개

TTG에서 해결하고자 하는 문제는 다음의 4가지이다.

• 언제, 어디에서 열차 지연(도착, 출발 모두 포함)이 발생하는가?
• 열차 지연을 유발하는 주된 요소는 무엇인가?
• 열차 운행 회사의 운행 노선에서 발생하는 일들에 대한 보고서에 첨부될 내용은 무엇인가?
• 조언 없이도 운행이 가능한 구간의 분석을 통해 조언이 가지고 있는 효과의 측정 방법은 무엇인가?

주어진 자료 및 정보는 아래 그림 1과 그림 2에 관한 데이터이다.

그림 1. 고도 표시 및 속도와 시간에 따른 에너지 소모 비교

그림 2. 단위 운행 구간에서의 열차 이동 비교

TTG에서 일반적으로 생각하는 열차 지연 요소는 다음과 같다.

• 역에서 기대했던 것보다 더 지연됨
• 정차역 사이에서의 신호에 의한 지연
• 운전자가 예상보다 천천히 역에 진입
• 타임 테이블 내에 충분한 여유가 없음
• 정차 구간이 효과적으로 분포되지 않음
• 위 요소 모두에 해당

다음은 시간이 포함된 열차 운행에 따른 로그 및 타이밍 데이터 샘플이다.

▣ 문제분석 및 해결과정 소개

다음과 같은 방법을 통해 문제의 자료를 재정비하여 문제를 해결하고자 한다.

• 데이터 클리닝 (음수인 시간과 자정(midnight) 등의 정보 제거)
• 데이터마다 델타 지연 변수를 계산
• 타임 테이블 불일치가 운전 오류를 야기시킴을 확인

데이터 클리닝을 통해 250,000개의 데이터를 205,000개로 줄일 수 있었다. 먼저, 시간표 여유가 공정한 방식으로 열차 운행시간 전체에 골고루 퍼지지 않았다고 가정한다. 도착 지연을 변수로 하는 함수를 통해 운행시간의 이상적인 형태를 알아보고자 한다. 역에 일찍 도착하는 열차는 예정된 시간보다 일찍 출발하는 것을 피하기 위해 역에서의 정차시간이 길어진다. 기차가 약간 늦게 도착하면 역 정차시간을 조절함으로써 스케줄 표와 달라진 시간을 보충할 수도 있다. 다음은 기업 관계자가 이야기하는 이상적인 도착시간과 정차시간의 그래프이다.

아래 그래프는 3대의 열차 샘플로 열차의 상태를 보여주는데 이것을 통해 이상적인 역 정차시간을 찾을 수 있을 것으로 예상된다.

위에서 언급한 내용 뿐만 아니라 열차 지연에 영향을 미치는 여러 변수를 설정하고 주어진 데이터에서 트레이닝에 사용할 데이터와 테스트에 사용할 데이터, 유효성 검사에 사용할 데이터로 분리하여 정규화된 매개 변수를 찾는데 사용하였다. 불완전한 작업에도 불구하고 각 섹션의 35%가 역 정차시간에 너무 짧거나 길게 할애하고 있음을 알 수 있었다. 5개의 가장 바쁜 역에서 실제 정차시간과 예정된 정차시간을 비교해 보니 그 중간쯤이 정해진 정차시간에 가깝다는 것을 알 수 있었다. 그러나 늦게 도착한 열차의 약 절반은 역에서 많은 시간을 보내고 늦게 출발하였다.

이 문제를 해결하는 한 가지 방법은 예정된 정차시간 및 섹션 기간을 늘리는 것이다. 역 사이에 더 많은 여유를 허용함으로써 정차 사이에 필요한 평균 속도는 약간 줄어들고 열차가 속도를 조정하여 정시 운행을 유지할 수 있는 범위가 더 넓어지게 만드는 것이다. 이러한 방법을 통해 정시에 운행되는 열차가 효율적으로 운행될 수 있다.

프로젝트 진행 시 제공된 데이터는 가상의 데이터로 기업 관계자의 입장에서 아이디어는 좋아 보이나 스터디그룹 기간 중에 확인이 불가능 한 아이디어도 다수 있었다. 팀원과 모더레이터와의 논의를 통해 기차가 한 역에 도착한 후 다음 역으로 도착할 때까지 충분한 시간을 허용하면서 역에서 보내는 시간을 최소화하는 것이 열차의 지연을 막는 방법일 것이라고 예측하였다.

2. 천음속 항력 계수 추정 (Estimating Transonic Drag)

산업수학혁신센터 조진환

▣ 참여기업

DST(Defense Science and Technology) 그룹은 호주에서 두 번째로 큰 공공 출연 R&D 기관으로 호주 국방부(Department of Defence)에 소속되어 있다. 국방 및 국가 안전에 관한 과학적 조언과 혁신적 솔루션을 제공함으로써 호주의 안전을 지키는 역할을 수행하고 있으며, 2016년에 이어 2년 연속으로 MISG에 참가하고 있다.

▣ 기업관계자 및 모더레이터

• Oleg Mazonka (DST Group)
• Robert McKibbin (Massey University)
• Brendan J. Florio (The Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation)

▣ 문제소개

DST 그룹에서 MISG 2017에 제시한 문제는 “천음속(遷音速) 항력 계수 추정”으로 강외탄도학(external ballistics)과 밀접한 관련이 있다. 탄도학은 “총포탄, 미사일 등 탄체가 물리적인 힘이나 화약에 의해 가속되어 최종 목표에 도달하기까지의 운동과 그 운동에 영향을 끼치는 요인들을 조사하는 학문”이다. 특히 강외탄도학은 “강체 외에서 일어나는 현상을 연구하는 학문”으로, “탄체가 총구를 떠나 어떤 매개체를 통하여 목표까지 비행하는 동안 어떤 힘을 받는지와 비행하는 동안 생기는 일 등을 연구하는 분야”이다. (위키백과) 탄체의 궤도를 추정하기 위해 여러 가지 수학모델이 사용되지만 이 문제에서는 난기류(air turbulence)나 공기의 유동에 수직인 방향으로 작용하는 양력(lift)은 고려하지 않고 중력(gravity)과 공기의 유동과 동일한 방향으로 작용하는 저항에 해당하는 항력()만 다룬다.

위키백과에 따르면 항력 방정식 $F_d$는 아래와 같이 기술된다.

여기에서 \rho는 공기의 밀도, u는 탄체의 속도, A는 탄체의 단면적이고, C_d는 차원이 없는 수로 항력 계수( coefficient)라 부른다. 항력을 정량화하는데 사용하는 항력 계수는 레이놀즈(Reynolds) 수에 종속된 값으로 표시하는데 물체의 모양에 따라 달라진다. 특히 음속을 넘나드는 속도로 움직이는 탄체의 경우 항력 계수는 더 이상 상수로 표시할 수 없다. 음속은 소리를 전파하는 매질에 따라 달라지는데 온도에 크게 좌우된다. 예를 들어 해수면(15°C)에서 음속은 초당 340미터 정도인데 반해 고도 11,000미터(−56.5°C)에서는 초당 295미터 정도이다. 따라서 탄체의 항력 계수는 그림 3과 같이 주로 음속에 비례한 속도를 나타내는 마하(Mach) 수에 대한 함수로 표시한다.

마하 0.8 미만을 아음속(subsonic), 마하 0.8에서 1.2까지를 천음속(transonic), 마하 1.2에서 5.0까지를 초음속(supersonic)이라 부르는데 (위키백과), 그림 3에서 보여주듯 탄체의 항력 계수는 마하 1 근처에서 급격한 변화를 보이는 특징을 가진다.

DST 그룹은 다양한 탄체의 항력 계수를 추정할 수 있는 수학 모델을 얻고자한다. 또한 탄체의 수학 모델이 주어졌을 때 실험 데이터로부터 모델의 매개변수를 효과적으로 찾아내는 최적화 방법도 원하고 있다. 실험 데이터는 탄체의 초속 및 종속, 발사고각(firing angle), 최대 높이, 사거리 등을 포함하고 있다.

그림 3. 탄체의 모양에 따라 달라지는 항력 계수 (G1 및 G7 모델) (출처)

▣ 문제분석 및 해결과정 소개

DST 그룹의 Oleg Mazonka는 G7 모델에 대해 아래와 같이 7개의 매개변수를 사용하는 항력 계수의 수학 모델을 제시했다.

이 문제에는 총 11명이 참여했으며 저마다의 방법으로 문제의 해결 방법을 고민했다. 하지만 뚜렷하게 주목을 끄는 해결 방법이 나타나지 않았기 때문에 소그룹이 형성되지 않았고, 마지막 날까지 개인적으로 문제를 다루었다.

문제를 다루는 방식은 크게 세 가지로 나눌 수 있었다. 먼저 이론적으로 새로운 항력 방정식을 만들고 미분방정식의 해를 구하고자 하는 시도이다. 다수의 참가자들이 이러한 방법을 따랐는데 아마 컴퓨터를 다루는 능력이 떨어지기 때문일 것으로 예상한다. 비록 많은 고민을 했지만 끝내 주목을 끌만한 결과는 보이지 못했다.

두 번째는 새로운 함수를 이용해 G7 모델을 표현하는 방식이다. 일본 큐슈대학에서 온 Kaname Matsue와 Yuta Hatakeyama는 쌍곡 탄젠트 함수를 이용해 아래와 같이 세 개의 매개변수로 이루어진 수학 모델을 제시하였다.

G1 모델에 대해서도 다섯 개의 매개변수를 이용한 수학 모델을 제시하였지만, 이러한 시도들은 G1 및 G7 모델 이외에도 다양한 형태의 항력 계수가 존재한다는 사실을 발견함으로써 의의를 크게 상실하게 되었다.

세 번째 방식의 시도는 탄환 생산 회사 Lapua에서 공개한 “(Lapua Ballistics App)[http://www.lapua.com/en/resources/lapua-ballistics-app.html]”을 수요일에 찾고 나서 시작되었다. 이 앱에는 Lapua에서 생산하는 56개의 탄환에 대한 항력 계수 데이터가 들어있었는데, 아래 그림과 같이 G1 및 G7 모델과 다른 형태가 매우 많았다.

이러한 사실을 통해 수학 함수만으로 항력 계수를 찾아내려는 시도는 합리적이지 않다는 결론에 이르게 되었다. 대신 Lapua 항력 계수 데이터와 같이 마하 수 0부터 5까지 50개의 샘플 포인트를 고른 후, 주어진 탄체의 실험 데이터에 가장 적합한 항력 계수 값을 각 샘플 포인트 별로 찾는 방법을 시도하였다. 이 때 최적화 알고리즘으로 BOBYQA (Bound Optimization BY Quadratic Approximation)[1]를 사용하였고, 컴퓨터 프로그래밍과 데이터 처리는 DST 그룹의 Oleg Mazonka와 본인이 함께 진행하였다. 목적 함수의 미분을 사용하지 않는 BOBYQA 알고리즘의 특성 때문에 결과는 그리 좋지 않았지만, 최적화 알고리즘을 보완하면 의미 있는 결과를 도출해 낼 수 있을 것 같다.

3. 도로 안전 카메라와 충돌사고의 관계 (Do Road Safety Cameras Reduce Crashes?)

산업수학혁신센터 김민중

▣ 참여기업

RAA(Royal Automobile Association)는 한국자동차협회(Korea Automobile Association)와 유사한 일을 하는 조직으로 1903년도에 사업을 시작했다. 24시간 긴급 출동, 차량검사, 도로 안전 관리, 안전 교육, 법률 서비스 기술 자문 및 여행 등 다양한 회원서비스를 제공한다. 또한 서비스, 보안, 여행기획, 보험회사 등의 자회사가 존재한다. 2015-2016년 동안 330,000건의 도로 파손 접수를 받았고 이 중 88%를 수리하였고 자전거 도로 서비스도 새롭게 시작하였다. 남호주 최대의 개인 보험회사로 남호주 인구의 1/4정도가 RAA 보험서비스를 받았으며(2015-2016년 보험 지급액 : 145백만달러) 가정, 기업, 개인의 보안시스템을 제공하는 보안 관제 서비스와 회원들의 휴가 예약 대행 서비스 및 무료 법률 자문을 제공한다. 기술고문 팀은 차량의 구입, 사용, 유지보수에 대한 조언을 하고 있으며 운전자 안전교육도 진행하고 있다. 남호주에서 RAA는 850명 이상의 직원을 파견한 가장 신뢰할 수 있는 브랜드 중 하나이다.

▣ 기업관계자 및 모더레이터

• Richard Butler (RAA, Road Safety Analyst)
• Amie Albrecht (University of South Australia)
• Tony Miller (Flinders University)

▣ 문제 소개

RAA는 도로 안전문제에 대해 큰 관심을 가지고 있으며 최근 몇 년 동안 도로의 결함을 강조하며 고속도로에 대한 평가를 실시해왔다. 전국적으로 위험요소 맵핑과 도로 등급 표시 서비스에 기여를 하고 있으며 남호주 도로 관련 문제에 대한 보고서를 “Report a Road”라는 이름으로 제공하고 있다. RAA는 도로 안전문제와 관련해서 고정된 안전카메라에도 관심이 있다. 안전카메라가 도로 이용자들의 안전을 개선시켰는지 평가하고자한다. 목적은 위반행위와 충돌사고가 감소하도록 운전자의 행동에 변화를 주었는지에 관한 관점에서 그 효과를 확인하는 것이다. 2016년 남호주에서 172,500건의 위법행위가 발생했는데 이는 하루에 약 500건에 해당하는 양이다. 남호주에는 총 172대의 안전카메라가 있고 안전카메라에 의해 감지된 위법행위는 모든 위법행위의 약 40%에 해당하며 6,150만 달러의 벌금에 해당한다. 2012년 중반에는 86대의 고정카메라가 존재했지만 지금은 이에 두 배정도 되는 172대의 카메라가 존재한다. 고정카메라에 의한 벌금도 2013년 중반 4천만 달러에서 2016년 6천만 달러로 크게 증가했다(단위 12개월). 이처럼 더 많은 고정카메라가 이용되고 있으며 안전카메라의 설치의 중요성이 부각 되고 있다.

안전카메라의 설치가 충돌사고의 수를 감소시켰다는 가설을 지지할 수 있을까? 단순한 수치상의 결과가 아닌, 충돌에 대한 전반적인 변화와 관련하여 주변의 상황까지 함께 고려하여 판단할 필요가 있다. 안전카메라에는 고정카메라와 이동식카메라가 존재하는데 우리는 고정카메라만 고려할 것이다. 안전카메라는 신호위반, 과속, 미등록차량 이 3가지 종류의 위법행위를 탐지할 수 있다. 남호주에 총 172대의 고정카메라가 설치되어 있으며 이들 중 90대는 교차로에 설치되어있다. 사망사고가 자주 발생했던 최악의 40개 교차로는 대도시권의 길을 따라서 균일하게 분포되어 있다. 이 40개의 교차로 중 25개의 교차로에는 안전카메라가 설치되어 있으며 이를 살펴보면 1996-2005년에 245명과 2006-2015년에는 247명의 사망자가 각각 발생하였다. 이 정보가 “교차로의 상황은 좋아지지 않았다.” 라는 것을 보여주는 것인가? 이러한 결론을 내리기 위해서는 신중하게 생각해야한다. 카메라는 한 방향만 보고 있기 때문에 교차로의 모든 교통의 움직임에 영향을 줄 수 없다. 여러 가지 자료를 고려하여 “안전카메라의 설치가 충돌사고의 수를 감소시켰는가?”에 대한 질문에 대답을 하는 것이 이번 워크숍의 목적이다.

RAA가 이 문제에 관심을 갖는 이유는 다음과 같다. RAA는 수년간 남호주 도로안전카메라 관리위원(안전카메라를 독립적으로 관리하는 사람)을 모집하고 있다. 이들의 역할은 안전카메라 시스템의 무결성을 조사하고 그 효과 및 효율성을 지역사회에 보고하는 것이다. 이 워크숍의 결과로 관리위원의 고용의 필요성이 부각 되었으면 한다. RAA는 안전한 도로에서 안전하게 운전할 수 있는 환경을 만들기 위해 안전카메라의 사용을 지지하고 있지만 모든 사람들이 이에 동의하지는 않는다. 69%의 회원들은 벌금이 과속을 줄이거나 안전성을 향상시키기보다 돈을 버는 수단, 즉 “수익상승”을 위한 것으로 생각한다. 안전카메라에 의해 충돌이 감소했다는 것으로 판명된 경우 RAA는 회원들에게 이 사실을 보고 할 것이다. RAA는 도로의 안전성을 개선해 안전한 도로를 만드는 것을 최우선으로 생각하고 있다.

▣ 문제분석 및 해결과정 소개

다음 Regency Road와 Prospect Road사이에 있는 교차로에 설치된 고정카메라 사진이다.

남호주에는 90대의 카메라가 교차로에 설치되어있다. 12명의 문제해결 팀은 교차로에 설치된 안전카메라에 집중했다. 카메라가 충돌사고에 어떻게 영향을 주었을까? 교차로 진입 200m 전에 위와 같은 경고 표지판을 보고 운전자는 교차로 진입 전 미리 속도를 줄이거나 방어운전을 하게 된다. 이번 문제 해결을 위해서 다음과 같은 데이터가 주어졌다.

• 1996년 이후 충돌사고 자료
  • 언제, 어디서, 얼마나 심각한 사고였는지 정보
  • 날씨, 도로상황 및 사고가 발생한 장소 표시(교차로, Mid-block)
  • 차량과 면허의 종류 및 상태
  • 사고 유형과 과실정보 및 부상당한 사람의 정보
  • 충돌사고 = 경미한 사고 + 심각한 사고 + 치명적인 사고
• 2011년 이후 안전카메라에 의해 탐지된 위법행위
  • 과속, 신호위반
• 카메라 작동 기록
  • 설치일, 작동기간
• 기타 교통량

다음은 20년간 발생한 교통사고에 대한 그래프이다.

그래프에서 보다시피 전체 충돌사고에서 경미한 사고에 해당하는 양이 많기 때문에 문제해결 팀은 심각한 사고와 치명적인 사고에 집중했다. 경미한 사고를 제외하고 보면 1996년 이후 지속적으로 사고의 수가 감소하는 경향이 있는 것을 확인 할 수 있다. 우리는 안전카메라의 설치와 충돌사고의 감소의 관계를 살펴보기 위해 다음과 같은 접근 방법을 고려했다. 각각의 교차로 데이터는 노이즈가 심하기 때문에 문제해결 팀은 각 교차로를 기준으로 하거나 연도를 기준으로 하는 평균을 사용해서 접근했다.

만약에 사고 발생에 대한 분포가 포아송 프로세스를 따른다면 카메라 설치 이후의 사고 빈도가 확연히 감소했는지 아닌지 보일 수 있다. 그래서 이에 필요한 논문과 자료를 수집하고 여러 가지 시간 단위(월, 연)를 고려해서 각 교차로에서 일어난 사고가 포아송 프로세스를 따르는지 살펴보았다. 몇 개의 교차로는 포아송 프로세스를 따르는 것으로 나타났지만 대부분의 교차로는 포아송 프로세스 모델에 의해 설명 된 것보다 변동성이 컸다. 즉, 포아송 프로세스 모델로 설명할 수 없었다.

현재 카메라가 설치된 교차로를 찾아 카메라 설치 이전과 이후의 사고 기록을 확인했다. 여기서 주의 할 점은 시간이 지남에 따라 전체적으로 충돌사고가 감소하는 경향이 있다는 것이다. 그래서 시간에 의해 감소하는 것 이외에 다른 효과가 존재했는지에 집중했다.

다음은 2002년 이후 카메라가 설치되어있는 90개의 교차로의 충돌 사고를 보여준다.

수평축은 90개의 교차로를 의미하고 수직축은 충돌사고의 수를 나타낸다. 막대의 빨간색 상단 끝부분은 카메라가 설치되기 이전 사고의 평균이다(기준: 연도). 카메라가 2002년 이전에 설치된 교차로는 막대에 빨간 부분이 없는 것을 확인 할 수 있다. 파란색 막대의 끝부분은 카메라가 설치된 이후 사고의 평균이다(기준: 연도). 즉, 빨간 막대의 높이는 카메라 설치 전/후 사고의 차이를 나타낸다. 연도를 기준으로 각 교차로 충돌 사고의 평균을 비교했을 때 설치 후 모든 교차로에서 사고가 감소한 것을 확인 할 수 있다. 위 그림은 교통량으로 정규화하지 않은 자료인데 VKT(Vehicle Kilometer Traveled)는 매년 증가하고 충돌사고의 수는 매년 감소하는 추세이므로 정규화를 하게 되면 차이가 더 커지게 돼서 카메라 설치 전/후로 충돌사고의 수는 감소했다고 할 수 있다.

위 그래프는 카메라가 설치되어있고 교통량이 많은 35개 교차로의 자료로 얻은 그래프로 카메라 설치 년도를 기준으로 년으로 충돌사고의 평균을 나타낸다. 그래프에서 보다시피 설치 전/후 평균의 차이는 통계적으로 유의하다. 카메라가 설치된 교차로와 설치되지 않은 교차로의 사고 비교를 비교해보면 서로 다른 교차로를 비교하는 것이기 때문에 교차로의 위치와 교통량 같은 다른 특징이 존재한다는 것을 고려해야했다. 다음 그림은 2001년 이후 카메라가 설치된 35개 교차로와 설치되지 않은 교차로의 평균을 나타낸 것이다.

파란 선은 각 연도별로 구한 충돌사고의 평균을 나타내고 주황색 선은 추세선이다. 카메라가 설치된 교차로는 충돌사고가 4%정도 감소를 했고 카메라가 설치되지 않은 교차로는 2.6% 감소를 했다. 카메라의 유/무에 따라 1.4% 정도의 차이가 존재하지만 이 차이가 유의한 차이인지는 더 연구를 할 필요가 있다. 지금까지의 증거로 우리는 안전카메라의 설치로 충돌사고의 수가 감소했다는 가설을 채택할 수 있다. 문제해결 팀은 데이터를 이용해서 다음과 같은 새로운 부분에 대한 접근도 했다.

위 그림은 카메라 설치 년도를 중앙에 두고 년의 경미한 사고와 심각한 사고의 수를 나타낸다. 여기에서 발견한 사실은 카메라가 설치된 교차로에서 발생한 총 사고 중 심각한 사고의 비율(9.6%)이 카메라가 설치되지 않은 교차로에서 발생한 심각한 사고의 비율(6.7%)보다 높다는 것이다. 단, 분석결과 이 차이는 유의하지 않다. 또한 문제해결 팀은 위법행위와 충돌사고는 상관관계가 있는지에 대해서 살펴보았다. 다음 그림은 각 카메라의 충돌사고와 위법행위의 수를 분포로 작성한 것이다. 점은 카메라를 나타낸다. 첫 번째 그림은 신호위반과 충돌사고의 수를 보여주고 두 번째 그림은 과속과 충돌사고의 수를 보여준다. 그림에서처럼 위법행위와 충돌사고는 상관관계가 있는 것 같지 않다.

결론적으로 충돌사고의 변동성은 포아송 프로세스 모델로 예측할 수 있는 것보다 상당히 커서 이 모델로는 설명하기 힘들다. 또, 여러 가지의 결과 및 자료들은 안전카메라의 설치가 충돌사고의 감소와 연관성이 있다는 것을 보여주고 있다. 우리는 후광효과(Halo effect : 어떤 대상이나 사람에 대한 일반적인 견해가 그 대상이나 사람의 구체적인 특성을 평가하는 데 영향을 미치는 현상)가 존재한다고 추측한다. 즉, 카메라 설치가 교차로에 나타나는 효과는 국소적이지 않고 광범위하게 나타날 것이다. 카메라가 설치되면 교차로가 변화하고 자동차의 흐름이 변하고 운전자 및 다른 여러 가지가 변화할 것이다. 카메라는 경미한 사고, 심각한 사고 및 치명적인 사고에 다른 영향을 줄 것이라고 추측되고 많은 다른 요소들이 충돌사고에 영향을 준다(예, 교차로의 재배치, 신호체계 변화 등). 교통량은 과거 15년부터 꾸준히 증가하는 추세에 있고(최대 10%) 개별 교차로는 큰 변동성을 가지고 있으므로 집계 분석 할 필요가 있다.

4. 전기요금 가격 책정 및 시스템 제어 (Electricity Pricing and Control Mechanisms for Microgrids)

산업수학혁신센터 정재원

▣ 참여기업

SAPN(South Australian Power Networks)은 남호주에 전력을 공급하는 중간 역할을 하는 기업으로 총 180,000면적에 피크타임(peak-time)일 때 3,000MW, 연간 10,000GWh의 에너지를 850,000명의 고객에게(주택: 750,000, 사업장: 100,000) 서비스하고 있다. 화력, 수력, 풍력 등에서 생산된 전기를 발전소로부터 이동시켜 고객에 판매하여 수익을 얻는다. 이에 더해 공공 조명을 설치하고 유지하는 등의 역할도 병행하고 있다. SAPN은 안전하고 믿을 만 한 독자적 에너지 도매업체로, 에너지의 저장 및 효율적인 계량을 위해 기존에 사용하지 않았던 신개념 에너지 네트워크를 구축하고자한다.

▣ 기업관계자 및 모더레이터

• Travis Kaushke(South Australian Power Networks)
• John Boland(School of ITMS, University of South Australia)
• Ayham Zaitouny(CSIRO, Mineral Resources)

▣ 문제소개

과학기술과 고객의 트랜드 변화로 기업에 요구되는 새로운 개념의 에너지 수급 시스템 도입을 위해 이번 MISG 2017에 기업문제를 신청하게 되었다. SAPN에서는 크게 두 가지 문제가 주어졌는데, 하나는 전기요금 책정이고(주어진 네트워크 안에서 각 고객에 대한 에너지의 가격과 인센티브 책정의 정당한 방법) 다른 하나는 에너지 컨트롤 시스템 구축이다.

먼저, 문제 해결 시 다음과 같은 상황을 고려해야한다.

• 고객이 이해하고 납득할만한 전기요금 책정
• 컨트롤은 안정적이어야 함
• 피크 타임 유출 및 유입 최소화
• 배터리 충전과 미 충전 상황 고려
• 자유재량 로드를 이동하여 고객의 행동에 영향력을 줌 (예를 들어, 퇴근 전 미리 에어컨을 가동하거나 해가 있는 낮에 샤워하기)
• 커뮤니티 인원은 20명 내외부터 100명 이상 등 다양하게 구성 가능

※ 해답은 반드시 기술적, 경제적, 행동학적인 측면을 고려해야하고 제약조건에 위배되지 않게 요금과 인텐시브 및 컨트롤을 조절해야한다.

전기요금 책정 시 커뮤니티의 전기요금을 최소화하기 위한 여러 방안이 제시되었다. 주어진 데이터를 분석하여 생활 패턴을 바꿔 요금을 줄일 수 있도록 조언하고 바람직한 행동으로 커뮤니티 내의 요금 인하에 기여한 개인에게 인센티브를 준다. 전기 공급의 질과 신뢰도가 보장 되어야 하므로 이에 대한 연구가 필요하다. 이를 위한 에너지 컨트롤 시스템 구축을 위해서는 전력량을 효과적으로 조절하기 위해, 측정된 태양열 배터리 데이터를 사용하여 다음 단위 시간에서의 에너지를 예측하고 실제 사용하는 고객의 다음 단위 시간에서의 전력량을 예측하여 생활패턴을 변화시켜 전기요금을 낮출 수 있도록 모니터링 한다.

먼 거리에서 생산된 전력을 끌어오면 이를 재분배하기 위해 회사에서 별도의 라인(distribution line)을 설치해야 하는데 개개인에게 전력을 공급하려면 이 설치비 매우 많이 든다. 이를 커뮤니티로 묶어 관리하게 되면 적은 수의 라인만을 가지고 전력을 공급하기 용이하여 많은 비용을 절감할 수 있다. 개인으로 전기를 구매하는 것 보다 전기요금이 절약된다는 시스템의 장점을 홍보함으로서 커뮤니티의 활성화로 보다 많은 고객을 확보할 수 있다는 이점을 가진다. 이에 더해 전력의 상당 부분을 태양열 에너지로 충당할 수 있어 미래의 환경을 보호하고 에너지 자원을 절약하는 데 도움이 될 것으로 판단되어 앞으로 에너지 사용 시스템에 큰 변화가 예상된다.

▣ 문제분석 및 해결과정 소개

아래 그림처럼 배터리 충전식 태양열 에너지를 기본으로 부족한 부분은 벌크로 전력을 구매하고 남는 부분은 판매하여 궁극적으로 개개인의 전기요금을 줄일 수 있도록 한다. 이 과정에서 개별적으로 전기를 사용하는 것 보다 비슷한 성격을 가진 커뮤니티로 묶어 운영하여 SAPN 회사와 고객 모두에게 합리적인 시스템을 마련하고자 한다. 또, 다음 단위 시간 이후에 충전 및 사용될 태양열 에너지의 양이나 개개인의 전력 소모량을 예측하여 보다 효과적으로 에너지를 활용할 수 있는 행동양식을 관리할 수 있게 모델링하는 것이 주된 내용이다.

SAPN 문제에서 사용 가능한 데이터는 다음과 같다. (매일 48개의 데이터가 수개월에 걸쳐 수집되었으며 모든 데이터의 기본 단위는 30분 간격으로 측정되었고 현재 SAPN에서 전력을 공급받는 110명의 데이터를 공유하였다.)

• 충전된 배터리 양
• 소모된 배터리 양
• 실제 고객이 사용한 에너지 양
• 커뮤니티 외부에서 구매한 전력 양
• 커뮤니티 외부로 판매된 전력 양

SAPN 문제해결 팀은 총 12명으로 문제의 주제에 따라 크게 3~4팀으로 나누어 진행하였으나 중간 과정에서 자유로운 토론이 이루어졌다. 매일 아침마다 전 날 고민했던 문제들과 궁금했던 점들에 대해 의견을 나누는 시간을 가졌다. 그 중 한 팀은 해당 문제에 관한 논문이나 자료들을 수집하여 업데이트하였고 또 한 팀은 데이터를 가지고 다양한 그래프를 만들었다. 이를 이론적으로 문제를 해결하는 팀에게 제공하여 보다 효과적으로 프로젝트를 진행할 수 있도록 도와주었다. 나머지 두 팀은 게임이론을 바탕으로 한 요금 책정에 관한 모델링과 통계적 기법을 사용하여 에너지 예측을 진행하였다.

게임이론[2]은 상호 의존적인 의사 결정에 관한 이론으로 여기서 게임이란 효용 극대화를 추구하는 행위자들이 일정한 전략을 가지고 최고의 보상을 얻기 위해 벌이는 행위를 말한다. 참가자들이 상호작용하면서 변화해가는 상황을 이해하는 데 도움을 주고, 그 상호작용이 어떻게 전개될 것인지, 매 순간 어떻게 행동하는 것이 더 이득이 되는지를 수학적으로 분석하는 이론이다. SAPN 문제에서는 나의 생활패턴을 변화시켜 전체 커뮤니티의 전력량을 최적화하여 결국 나에게도 이득이 될 수 있도록 행동하는 상황에 적용 가능하다. 게임이론을 사용하여 에너지 사용량을 예측하여 개개인이 커뮤니티로 들어올 수 있는 이론적인 근거를 마련하고자 한다. 다음은 커뮤니티 개인의 요금 계산 방법이다.

• 고정된 하루 기본요금: $5
• 에너지
  • 피크타임에 구매하는 전력 요금: $0.20/kWh
  • 오프-피크타임에 구매하는 전력 요금: $0.10/kWh
  • 남은 전력 판매 시 받는 금액: $0.05/kWh
• 사용자 월별 요금
  • 피크 타임에서 최대 요금: $16/kW
  • 숄더 타임에서 최대 요금: $8/kW
  • 오프-피크 타임에서 최대 요금: $16/kW

※ 에너지 피크타임: 07:00-21:00, 사용자 피크타임: 16:00-21:00, November-March

게임이론 팀은 커뮤니티의 구성원으로서 지불 할 i번째 세대의 요금 ${c^<!--\; ^\; -->}_i$은 다음과 같이 책정될 수 있다는 의견을 제시하였다.$${c^<!--\; ^\; -->}_i=h_{i}Q+{\displaystyle \frac{p_i^u}{{p^<!--\; ^\; -->}^u}}M+{\displaystyle \frac{V}{N}}$$

이때, h_iQ은 i번째 세대가 실제 사용한 전력량에 대한 요금, (p_i^u/\hat p^u)M은 i번째 세대가 피크 로드일 때 사용한 전력량에 대한 요금, V/N은 각 세대의 기본요금이다. 아래 그림 4는 SAPN의 에너지 책정 최적화의 한 예이다.

그림 4. SAPN의 에너지 책정 최적화 과정 소개

개인의 기존 요금이 위에서 책정된 요금 \hat c_i 보다 많다면 충분히 커뮤니티에 가입을 결정할 만하고, 위 결과가 근거 자료 중 하나로 제시될 수 있다. 게임이론을 적용하여 에너지 감소에 기여한 개개인에게 인센티브를 줌으로써 생활패턴을 변화시킬 수 있는 모티브를 제공하고 이로써 보다 많은 고객으로 유치하여 회사에 더 많은 이익을 창출할 수 있다.

에너지 예측 모델 팀은 푸리에 전개(Fourier Series)와 자동회귀 이동 평균(Autoregressive Moving Average; ARMA) 모델[3]을 사용하여 다음 단계의 에너지를 예측하는 시스템을 구축하고자 하였다. 먼저, 푸리에 급수를 사용하여 주어진 신호를 근사(S_t)한다. 여기서는 다음과 같이 계산하였다$$S_t={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\cos ？<!--\; ？\; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1\sin ？<!--\; ？\; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2\cos ？<!--\; ？\; -->(4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2\sin ？<!--\; ？\; -->(4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3\cos ？<!--\; ？\; -->(6\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_3\sin ？<!--\; ？\; -->(6\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$

AR(4)(Autoregressive Process of Order 4) 모델을 사용하여 나머지 급수(residual series)를 다음과 같이 계산할 수 있다.

각 \alpha_k, \beta_k, \gamma_k를 계산한 후, $R_t=X_t-<!--\; ？\; -->S_t$로부터 ${X^<!--\; ^\; -->}_t=S_t+{R^<!--\; ^\; -->}_t$를 예측할 수 있다. 이때, \hat R_t는 오차를 없앤 값으로 여기서는$R_t-<!--\; ？\; -->{\mathrm{？<!--\; ？\; -->}}_t$ 에 해당된다. 다음은 SAS를 이용한 로드데이터(Load)와 태양열데이터(Solar)의 최종 예측 결과(Final)이다.

본 연구원은 에너지 예측 모델 팀에 참여하였고 R을 사용하여 실제로 데이터를 예측하는 과정을 직접 시연해보았다. ARMA 모델을 사용하여 바로 다음 데이터 예측이 가능함을 확인하였고, 특별히 차수가 4인 경우의 결과가 가장 잘 예측됨을 계산 과정에서 알 수 있었다.

기타 사항

▣ 참고자료

1. Powell, M. J. D. (June 2009). The BOBYQA algorithm for bound constrained optimization without derivatives (PDF) (Report). Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Cambridge University. DAMTP 2009/NA06. Retrieved 2014-02-14.
2. 게임이론을 사용한 에너지 요금 책정, H. K. Nguyenl, J. B. Songl, and Z. Han, Demand Side Management to Reduce Peak-to-Average Ratio, The 1 st IEEE INFOCOM Workshop on Communications and Control for Sustainable Energy Systems: Green Networking and Smart Grids
3. 태양열 예측 모델, John Boland, Multivariate Forecasting of Solar Energy, 20th International Congress on Modelling and Simulation, Adelaide, Australia, 1–6 December 2013

▣ MISG 2017 프로젝트 소개

http://mathsinindustry.com/about/misg-2017/2017-projects/

▣ MISG 2017에 대한 요약 보고서는 수개월 이내에 MISG 홈페이지에 게시될 예정이며, 최종보고서는 ANZIAM Journal Electronic Supplement에 출간될 예정이다.