산업수학 묻고 답하기
완료 테일러급수와 적분상수가 궁금합니다.
2018-10-11
저는 수학과 진학을 희망하는 일반고 3학년 학생입니다.
테일러급수에 대한 질문 2가지와 적분상수에 대한 질문 2가지를 여쭤보고싶습니다.
첫째로, 테일러급수가 '근사값을 구하는데에 유용한 특수한 멱급수', 혹은 '근사다항식'이라고 표현할 수 있다는 걸 알게되었는데 제가 제대로 이해한 것인지 잘 모르겠습니다.
둘째로, 테일러급수가 산업수학에 굉장히 유용하게 사용된다는 것도 알게되었는데 흔한 예시인 공학용계산기에서의 '근삿값 계산' 말고도 구체적으로 어떤 상황을 해결할때 어느 부분에서 어떤 역할을 하는지 궁금합니다. 혹시 연구소에서 진행된 연구들 중에서도 예시가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.
셋째로, 구하기 힘든 적분상수 값을 실제로 어떻게 구하는지 궁금합니다. 제가 얼마전에 미적분의 활용에 대한 책에서 로지스틱 방정식의 해를 구하는 과정을 보았는데, 중간에 풀이는 생략되어있고 저는 구할 수 없었던 적분상수가 마지막에 갑자기 등장하더라구요..
넷째로, 적분상수를 구하는 것에 테일러급수가 관련이 있는지도 궁금합니다. 혹시 컴퓨터로 구한다면, 어떤 매커니즘인지도 간략하게 알고싶습니다.
수학에 정말 관심이 많은데 주변에 물어볼 데가 없어서..꼭 답변해주시면 감사하겠습니다ㅠㅠ
1. 첫째로, 테일러급수가 '근사값을 구하는데에 유용한 특수한 멱급수', 혹은 '근사다항식'이라고 표현할 수 있다는 걸 알게되었는데 제가 제대로 이해한 것인지 잘 모르겠습니다.
(답)개념적으로는 맞는 말입니다.
실제로 함수랑 그 테일러 급수를 그래프 그려주는 프로그램(GrafEq나 WolframAlpha 등)에 그려보면, 차수가 꽤 높으면 두 그래프가 구분이 안 될 정도로 가깝게 그려지는 모습을 볼 수 있습니다. 한번 예시로 이 둘을 비교해 보세요.
(1) 사인함수와 그 테일러 급수
(2) 함수 1/(1-x)와 그 테일러 급수인 기하급수 1+x+x^2+x^3+...
다만 멀리 가면 갈 수록 원래 함수랑 테일러 급수가 따로 노는 것을 볼 수 있는데, 그래서 테일러 급수가 근사다항식이라는 말을 엄밀히 하기 위해 "0 근처에서는" 근사다항식이라는 표현을 (대학교 이후에) 보게 됩니다. 사인함수면 [-R,R] (R>0) 꼴인 임의의 구간이 "0 근처"라는 말이 될 것이고, 기하급수의 경우에는 열린구간 (-1,1) 안에 들어 있는 닫힌구간 [-a,a] (0<a<1)이 "0 근처"라는 말이 될 것입니다. (희한하게도, "(-1,1) 전체에서" 함수값을 근사한다고 말하지는 않습니다.)
2. 둘째로, 테일러급수가 산업수학에 굉장히 유용하게 사용된다는 것도 알게되었는데 흔한 예시인 공학용계산기에서의 '근삿값 계산' 말고도 구체적으로 어떤 상황을 해결할때 어느 부분에서 어떤 역할을 하는지 궁금합니다. 혹시 연구소에서 진행된 연구들 중에서도 예시가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.
(답) 미분방정식 수치해 분석에서 큰 역할을 가집니다.
산업수학에서 자주 등장하는 문제로 미분방정식 해 찾기가 있습니다. Navier--Stokes 방정식을 통한 유체 분석 등이 예시가 되겠네요. 이런 곳에서는 미분을 함수값만으로 근사하기 위한 다양한 시도를 합니다.
제일 간단한 사례로 FDM(유한차분법, https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method)을 들 수 있습니다. 이 방법은 함수 f(x)의 미분 f'(x)를 적당히 작은 h>0에 대해 (f(x+h)-f(x-h))/(2h)와 같이 근사해, 미분방정식을 함수값에 대한 연립방정식으로 바꾸는 방법입니다. 이것이 충분히 좋은 근사해를 구한다, 즉 오차가 적게 나타난다는 것을 보이는 데에 테일러 급수가 쓰입니다. 2차미분 f''(x) 이상이 등장하더라도 테일러 급수를 통해 좋은 근사해를 구하는 연립방정식을 찾을 수 있습니다.
이 외에도 테일러 근사는 "임의의 함수를 다항식 꼴로 다시 써서 분석하는" 부류의 작업에 매우 뛰어나, 관련한 도구에 직,간접적으로 쓰이고 있습니다. 방정식 해 구하기, 대수기하학 등에서 테일러 급수를 보게 되실 수 있습니다.
3. 셋째로, 구하기 힘든 적분상수 값을 실제로 어떻게 구하는지 궁금합니다. 제가 얼마전에 미적분의 활용에 대한 책에서 로지스틱 방정식의 해를 구하는 과정을 보았는데, 중간에 풀이는 생략되어있고 저는 구할 수 없었던 적분상수가 마지막에 갑자기 등장하더라구요..
(답) 보통 적분상수는 '초기조건'이라 부르는 별도의 조건으로 구하게 됩니다.
설명의 편의를 위해 ^^; 중력운동 F=mg에 대해 다룰게요. F는 여기서 아래쪽으로 받는 힘이니까, 높이를 h라 두면 -mh''로 나옵니다. 그러니까 풀어야 할 방정식은 -mh''(t)=mg, 곧 h''(t)=-g가 될 거에요.
한번 적분을 하면 h'(t) = -gt + C, 여기서 C는 적분상수일 것입니다. 네, 구할 수 없는 적분상수가 나타났네요...
이 경우 초기조건으로, 맨 처음의 속도 h'(0)=v가 주어지면 C를 구할 수 있습니다. 간단하게 대입해서 h'(0) = -g×0+C = v를 풀면, C = v를 얻겠네요. 이렇게 h'(t) = -gt+v를 구했습니다.
한번 더 적분을 하면 h(t) = -1/2 gt^2 + vt + C'로 또 다른 적분상수 C'가 나올 것이고, 여기서 다시 초기조건 h(0)=h0 (초기 높이)를 넣으면 h(0) = -1/2 g×0^2 + v×0 + C' = h0를 얻고, C' = h0를 알죠. 즉 h(t) = -1/2 gt^2 + vt + h0 으로 방정식을 풀게 됩니다.
이걸 가능하게 했던 건 초기조건으로 주어진 h'(0) = v, h(0) = h0이 있었기 때문이고, 대개 n계 미분방정식은 n개의 초기조건을 가지고 풀게 됩니다.
말씀하셨던 로지스틱 방정식의 경우도, 어딘가에 "초기 인구는 얼마다"와 같은 언급이 지나가듯이 나오고, 실제로 나온 답도 "초기 인구 조건"만큼은 맞추도록 답이 적혀 있지 않았을까 싶습니다.
4. 넷째로, 적분상수를 구하는 것에 테일러급수가 관련이 있는지도 궁금합니다. 혹시 컴퓨터로 구한다면, 어떤 매커니즘인지도 간략하게 알고싶습니다.
(답) 적분상수의 계산은 어느 쪽이냐 치면 원시함수(미분해서 '그 함수'가 나오는 함수. x^2+C는 2x의 원시함수입니다.) 중 "적절한 것"이 뭐냐는 질문이 될 가능성이 큽니다. 그래서 원시함수를 계산하는 데에 수치적분 등 테일러급수가 간접적으로 관여할 수는 있지만, 직접 도움을 주는 형태는 아니라 알고 있습니다. 컴퓨터로 구할 때에도 수치적분 매커니즘에 의한다고 보시면 됩니다.
테일러급수에 대한 질문 2가지와 적분상수에 대한 질문 2가지를 여쭤보고싶습니다.
첫째로, 테일러급수가 '근사값을 구하는데에 유용한 특수한 멱급수', 혹은 '근사다항식'이라고 표현할 수 있다는 걸 알게되었는데 제가 제대로 이해한 것인지 잘 모르겠습니다.
둘째로, 테일러급수가 산업수학에 굉장히 유용하게 사용된다는 것도 알게되었는데 흔한 예시인 공학용계산기에서의 '근삿값 계산' 말고도 구체적으로 어떤 상황을 해결할때 어느 부분에서 어떤 역할을 하는지 궁금합니다. 혹시 연구소에서 진행된 연구들 중에서도 예시가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.
셋째로, 구하기 힘든 적분상수 값을 실제로 어떻게 구하는지 궁금합니다. 제가 얼마전에 미적분의 활용에 대한 책에서 로지스틱 방정식의 해를 구하는 과정을 보았는데, 중간에 풀이는 생략되어있고 저는 구할 수 없었던 적분상수가 마지막에 갑자기 등장하더라구요..
넷째로, 적분상수를 구하는 것에 테일러급수가 관련이 있는지도 궁금합니다. 혹시 컴퓨터로 구한다면, 어떤 매커니즘인지도 간략하게 알고싶습니다.
수학에 정말 관심이 많은데 주변에 물어볼 데가 없어서..꼭 답변해주시면 감사하겠습니다ㅠㅠ
답변
수학원리응용센터 2018-10-12(답)개념적으로는 맞는 말입니다.
실제로 함수랑 그 테일러 급수를 그래프 그려주는 프로그램(GrafEq나 WolframAlpha 등)에 그려보면, 차수가 꽤 높으면 두 그래프가 구분이 안 될 정도로 가깝게 그려지는 모습을 볼 수 있습니다. 한번 예시로 이 둘을 비교해 보세요.
(1) 사인함수와 그 테일러 급수
(2) 함수 1/(1-x)와 그 테일러 급수인 기하급수 1+x+x^2+x^3+...
다만 멀리 가면 갈 수록 원래 함수랑 테일러 급수가 따로 노는 것을 볼 수 있는데, 그래서 테일러 급수가 근사다항식이라는 말을 엄밀히 하기 위해 "0 근처에서는" 근사다항식이라는 표현을 (대학교 이후에) 보게 됩니다. 사인함수면 [-R,R] (R>0) 꼴인 임의의 구간이 "0 근처"라는 말이 될 것이고, 기하급수의 경우에는 열린구간 (-1,1) 안에 들어 있는 닫힌구간 [-a,a] (0<a<1)이 "0 근처"라는 말이 될 것입니다. (희한하게도, "(-1,1) 전체에서" 함수값을 근사한다고 말하지는 않습니다.)
2. 둘째로, 테일러급수가 산업수학에 굉장히 유용하게 사용된다는 것도 알게되었는데 흔한 예시인 공학용계산기에서의 '근삿값 계산' 말고도 구체적으로 어떤 상황을 해결할때 어느 부분에서 어떤 역할을 하는지 궁금합니다. 혹시 연구소에서 진행된 연구들 중에서도 예시가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.
(답) 미분방정식 수치해 분석에서 큰 역할을 가집니다.
산업수학에서 자주 등장하는 문제로 미분방정식 해 찾기가 있습니다. Navier--Stokes 방정식을 통한 유체 분석 등이 예시가 되겠네요. 이런 곳에서는 미분을 함수값만으로 근사하기 위한 다양한 시도를 합니다.
제일 간단한 사례로 FDM(유한차분법, https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method)을 들 수 있습니다. 이 방법은 함수 f(x)의 미분 f'(x)를 적당히 작은 h>0에 대해 (f(x+h)-f(x-h))/(2h)와 같이 근사해, 미분방정식을 함수값에 대한 연립방정식으로 바꾸는 방법입니다. 이것이 충분히 좋은 근사해를 구한다, 즉 오차가 적게 나타난다는 것을 보이는 데에 테일러 급수가 쓰입니다. 2차미분 f''(x) 이상이 등장하더라도 테일러 급수를 통해 좋은 근사해를 구하는 연립방정식을 찾을 수 있습니다.
이 외에도 테일러 근사는 "임의의 함수를 다항식 꼴로 다시 써서 분석하는" 부류의 작업에 매우 뛰어나, 관련한 도구에 직,간접적으로 쓰이고 있습니다. 방정식 해 구하기, 대수기하학 등에서 테일러 급수를 보게 되실 수 있습니다.
3. 셋째로, 구하기 힘든 적분상수 값을 실제로 어떻게 구하는지 궁금합니다. 제가 얼마전에 미적분의 활용에 대한 책에서 로지스틱 방정식의 해를 구하는 과정을 보았는데, 중간에 풀이는 생략되어있고 저는 구할 수 없었던 적분상수가 마지막에 갑자기 등장하더라구요..
(답) 보통 적분상수는 '초기조건'이라 부르는 별도의 조건으로 구하게 됩니다.
설명의 편의를 위해 ^^; 중력운동 F=mg에 대해 다룰게요. F는 여기서 아래쪽으로 받는 힘이니까, 높이를 h라 두면 -mh''로 나옵니다. 그러니까 풀어야 할 방정식은 -mh''(t)=mg, 곧 h''(t)=-g가 될 거에요.
한번 적분을 하면 h'(t) = -gt + C, 여기서 C는 적분상수일 것입니다. 네, 구할 수 없는 적분상수가 나타났네요...
이 경우 초기조건으로, 맨 처음의 속도 h'(0)=v가 주어지면 C를 구할 수 있습니다. 간단하게 대입해서 h'(0) = -g×0+C = v를 풀면, C = v를 얻겠네요. 이렇게 h'(t) = -gt+v를 구했습니다.
한번 더 적분을 하면 h(t) = -1/2 gt^2 + vt + C'로 또 다른 적분상수 C'가 나올 것이고, 여기서 다시 초기조건 h(0)=h0 (초기 높이)를 넣으면 h(0) = -1/2 g×0^2 + v×0 + C' = h0를 얻고, C' = h0를 알죠. 즉 h(t) = -1/2 gt^2 + vt + h0 으로 방정식을 풀게 됩니다.
이걸 가능하게 했던 건 초기조건으로 주어진 h'(0) = v, h(0) = h0이 있었기 때문이고, 대개 n계 미분방정식은 n개의 초기조건을 가지고 풀게 됩니다.
말씀하셨던 로지스틱 방정식의 경우도, 어딘가에 "초기 인구는 얼마다"와 같은 언급이 지나가듯이 나오고, 실제로 나온 답도 "초기 인구 조건"만큼은 맞추도록 답이 적혀 있지 않았을까 싶습니다.
4. 넷째로, 적분상수를 구하는 것에 테일러급수가 관련이 있는지도 궁금합니다. 혹시 컴퓨터로 구한다면, 어떤 매커니즘인지도 간략하게 알고싶습니다.
(답) 적분상수의 계산은 어느 쪽이냐 치면 원시함수(미분해서 '그 함수'가 나오는 함수. x^2+C는 2x의 원시함수입니다.) 중 "적절한 것"이 뭐냐는 질문이 될 가능성이 큽니다. 그래서 원시함수를 계산하는 데에 수치적분 등 테일러급수가 간접적으로 관여할 수는 있지만, 직접 도움을 주는 형태는 아니라 알고 있습니다. 컴퓨터로 구할 때에도 수치적분 매커니즘에 의한다고 보시면 됩니다.
